Contando en otras bases de numeración I

En el último post hablaba del título del blog, de lo que quería transmitir con él. Ahora vamos a ver por qué 2, en binario, es 10.

Normalmente, nosotros utilizamos el sistema decimal para contar. La palabra decimal se utiliza porque utilizamos 10 símbolos para formar todos los números, a saber: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Cuando utilizamos sólo uno de estos símbolos para designar un conjunto de cosas hablamos de ellos como si fueran unidades. En palabras más sencillas, cosas sueltas. Por ejemplo:

Cinco círculos
5 círculos

Con sólo estos diez símbolos no podríamos denotar conjuntos mayores de nueve elementos porque, sencillamente, no tenemos más símbolos. Pero gracias a Alá, sí que podemos dado que el sistema de numeración decimal es posicional y un 1 a la izquierda de un 0 no es lo mismo que a su derecha.

Diez elementos agrupados
1 conjunto de diez elementos y 0 elementos sueltos
Veintitrés elementos agrupados
2 conjuntos de diez y 3 elementos sueltos

Así, cuando encontramos diez elementos podemos afirmar que tenemos 1 grupo de diez cosas y 0 cosas sueltas y cuando tenemos veintitrés elementos podemos decir que tenemos 2 grupos de diez y 3 cosas sueltas.

Esto nos recuerda a esos tiempos en el colegio aprendiendo las unidades, decenas, centenas… y así es: las unidades son las cosas sueltas, las decenas los grupos de diez, las centenas los grupos de cien… Es decir, que vamos añadiendo columnas por la izquierda a medida que completamos grupos de 10. De ahí la palabra decimal.

Cuarenta y trés en base 5
4 grupos de cinco y 3 elementos sueltos
Veinte en base 5
2 grupos de cinco y 0 elementos sueltos

Ahora imaginad que en vez de diez símbolos contamos sólo con cinco: 0, 1, 2, 3 y 4. El principio es el mismo, sólo que ahora tenemos que agrupar cada cinco cosas porque no tenemos ningún símbolo para designar cinco cosas sueltas. En su luegar tendremos que decir que hay 1 grupo de cinco y 0 cosas sueltas. Como agrupamos cada menos elementos, las figuras anteriores, conservando el mismo conteo de elementos, se representan de manera distinta. Es decir, las cifras para representar los mismos conjuntos son distintas. Así podemos decir que 10 (base 10) = 20 (base 5) y que 23 (base 10) = 43 (base 5).

Además, en base cinco, las unidades siguen siendo elementos sueltos pero las “decenas” son grupos de cinco elementos (5 x 1), las “centenas” representan un grupo de cinco conjuntos de cinco elementos (5 x 5), las “unidades de millar”, un conjunto de cinco conjuntos de cinco conjuntos de cinco (5 x 5 x 5) y así sucesivamente. Es decir, que cada posición a la izquierda es 5 veces más que la posición inmediatamente a la derecha.

Ahora contar en binario es muy fácil. Sólo tenemos dos símbolos: 0 y 1 y tenemos que agrupar cada dos elementos así las figuras anteriores quedan:

Veinte en base 2
1 grupo de ocho elementos, 0 grupos de cuatro elementos, 1 grupo de dos elementos y 0 elementos sueltos

Y la otra:

Veintitrés en base 2
1 grupo de dieciseis, 0 grupos de ocho, 1 grupo de cuatro, 1 grupo de dos y 1 elemento suelto

Como se puede ver, necesitamos muchos más dígitos porque agrupamos muy, muy pronto y en seguida podemos hacer conjuntos más y más grandes. En este caso, cada nueva columna a la izquierda es el doble de la inmediatamente a la derecha.

Ahora bien, para terminar: ¿cuál es la cifra para un conjunto con tantos elementos como la base escogida? O dicho de otro modo, cómo representamos diez elementos en base diez, cinco elementos en base cinco o dos elementos en base dos. No tenemos símbolos para ellos pero podemos decir que tenemos 1 conjunto de [ponga aquí la base escogida] y 0 elementos sueltos. Es decir, usamos el número 10 y esto es así siempre: si tuviéramos base siete (símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6), siete cosas se representarían como 1 conjunto de siete y 0 elementos sueltos. De nuevo, 10.

Así que concluímos que, en decimal, 1 + 1 = 2, pero en binario 2 tenemos que representarlo como 10 y de aquí Uno y uno = diez, el título del blog.

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4 comentarios en “Contando en otras bases de numeración I

  1. Podemos concluir que si ab es un número expresado en base 10, entonces su expresión en base 5 es cb, donde c=2*a.
    Pero esto sólo es cierto si a<=2 y b<=5. ¿Qué ocurre en otros casos?

  2. Claro, porque con las restricciones que has puesto, siempre tendrás el doble de grupos de 5 que de 10 y los mismos sueltos.

    No obstante, si te interesa, estate pendiente porque publicaré otro post explicando cómo pasar de un sistema a otro y enseñando a contar en orden.

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